Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(G=E\setminus F\). Soit \(f\in L(E)\) tel que \[\forall x \in G, f(x)=2x\] Montrer que \(f=2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


Barre utilisateur

[ID: 1233] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 872
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06

Soient \(x\in F\) et \(x'\in G\). Alors \(x+x'\in G\) car sinon, \(x+x'\in F\) et comme \(x\in F\) et que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), \(x'\in F\) ce qui n’est pas possible.

Par linéarité de \(f\), \(f\left(x+x'\right)=f\left(x\right)+f\left(x'\right)\) et donc \(2\left(x+x'\right)=f\left(x\right)+2x'\). On en déduit que \(f\left(x\right)=2x\) et donc que \(f_{|F}=2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). En conclusion, \(f=2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


Documents à télécharger