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[ID: 1231] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 966
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:06

1. Facile.

2. • Supposons que \(\varphi\) soit injective. Soit \(x_0\in E\) tel que \(g\left(x_0\right)=0\). Par l’absurde, supposons que \(x_0\neq 0\). Posons \(F=Vect\left(x_0\right)\) et considérons un supplémentaire \(G\) de \(F\) dans \(E\). Considérons aussi l’application linéaire \(f\in L\left(E\right)\) donnée par \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} E=F\oplus G & \longrightarrow & E \\ x=\alpha x_0+x_G & \longmapsto & \alpha x_0 \end{array} \right. .\] Alors \(\varphi\left(f\right)=g\circ f=0=\varphi\left(0\right)\). Comme \(\varphi\) est injective, il vient que \(f=0\) ce qui n’est pas possible. Donc \(x_0=0\) et \(g\) est injective.

   • Réciproquement, si \(g\) est injective et s’il existe \(f\in L\left(E\right)\) telle que \(\varphi\left(f\right)=0\) alors pour tout \(x\in E\), \(g\circ f\left(x\right)=0\) et donc pour tout \(x\in E\), \(f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}g=\left\{0\right\}\). Il vient alors que \(\forall x\in E\), \(f\left(x\right)=0\) autrement dit que \(f=0\). En conclusion \(\varphi\) est injective..

3. • Supposons que \(\varphi\) est surjective. Soit \(y\in E\). Il existe \(f\in L\left(E\right)\) tel que \(\varphi\left(f\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). Donc \(g\left(f\left(y\right)\right)=y\) et \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}g\). On a prouvé que \(g\) est surjective.

   • Si \(g\) est bijective, montrons qu’il en est de même de \(\varphi\). On sait déjà que \(\varphi\) est injective. Il reste à montrer qu’elle est surjective. Soit \(f\in L\left(E\right)\). Comme \(g\) est bijective, pour tout \(x\in E\), il existe un unique \(x_f\in E\) tel que \(g\left(x_f\right)=f\left(x\right)\). On définit ainsi une application \(f_0: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & x_f \end{array} \right.\). Cette application est linéaire. En effet, si \(x,x'\in E\) et \(\alpha,\alpha'\in \mathbb{K}\) alors \(f_0\left(\alpha x + \alpha' x'\right)=\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\) avec \(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\) tel que \[\begin{aligned} g\left(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\right)&=&f\left(\alpha x + \alpha' x'\right) \textrm{ par définition de $\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f$}\\ &=&\alpha f\left(x\right)+\alpha' f \left(x'\right) \textrm{ par linéarité de $f$}\\ &=&\alpha g\left(x_f\right)+\alpha' g\left(x'\right) \textrm{ par définition de $x_f$ et $x'_f$}\\ &=&g\left(\alpha x_f + \alpha' x'_f\right) \textrm{ par linéarité de $g$}\end{aligned}\] donc par injectivité de \(g\), \(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f=\alpha x_f + \alpha' x'_f\) et \(f_0\left(\alpha x + \alpha' x'\right)=\alpha f_0\left(x\right)+\beta f_0\left(x'\right)\). On en déduit que \(f_0\in L\left(E\right)\). De plus, par construction, \(g\circ f_0=f\) et \(\varphi\) est bien surjective.