Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(g\in L(E)\). On définit: \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} L\left(E\right) & \longrightarrow & L\left(E\right) \\ f & \longmapsto & gof \end{array} \right.\]

On admettra que dans un espace vectoriel, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

  1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire

  2. Montrer que \(\varphi\) est injective si et seulement si \(g\) est injective

  3. Montrer que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(g\) est bijective.


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[ID: 1231] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 966
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06
  1. Facile.

    • Supposons que \(\varphi\) soit injective. Soit \(x_0\in E\) tel que \(g\left(x_0\right)=0\). Par l’absurde, supposons que \(x_0\neq 0\). Posons \(F=Vect\left(x_0\right)\) et considérons un supplémentaire \(G\) de \(F\) dans \(E\). Considérons aussi l’application linéaire \(f\in L\left(E\right)\) donnée par \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} E=F\oplus G & \longrightarrow & E \\ x=\alpha x_0+x_G & \longmapsto & \alpha x_0 \end{array} \right. .\] Alors \(\varphi\left(f\right)=g\circ f=0=\varphi\left(0\right)\). Comme \(\varphi\) est injective, il vient que \(f=0\) ce qui n’est pas possible. Donc \(x_0=0\) et \(g\) est injective.

    • Réciproquement, si \(g\) est injective et s’il existe \(f\in L\left(E\right)\) telle que \(\varphi\left(f\right)=0\) alors pour tout \(x\in E\), \(g\circ f\left(x\right)=0\) et donc pour tout \(x\in E\), \(f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}g=\left\{0\right\}\). Il vient alors que \(\forall x\in E\), \(f\left(x\right)=0\) autrement dit que \(f=0\). En conclusion \(\varphi\) est injective..

    • Supposons que \(\varphi\) est surjective. Soit \(y\in E\). Il existe \(f\in L\left(E\right)\) tel que \(\varphi\left(f\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). Donc \(g\left(f\left(y\right)\right)=y\) et \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}g\). On a prouvé que \(g\) est surjective.

    • Si \(g\) est bijective, montrons qu’il en est de même de \(\varphi\). On sait déjà que \(\varphi\) est injective. Il reste à montrer qu’elle est surjective. Soit \(f\in L\left(E\right)\). Comme \(g\) est bijective, pour tout \(x\in E\), il existe un unique \(x_f\in E\) tel que \(g\left(x_f\right)=f\left(x\right)\). On définit ainsi une application \(f_0: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & x_f \end{array} \right.\). Cette application est linéaire. En effet, si \(x,x'\in E\) et \(\alpha,\alpha'\in \mathbb{K}\) alors \(f_0\left(\alpha x + \alpha' x'\right)=\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\) avec \(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\) tel que \[\begin{aligned} g\left(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f\right)&=&f\left(\alpha x + \alpha' x'\right) \textrm{ par définition de $\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f$}\\ &=&\alpha f\left(x\right)+\alpha' f \left(x'\right) \textrm{ par linéarité de $f$}\\ &=&\alpha g\left(x_f\right)+\alpha' g\left(x'\right) \textrm{ par définition de $x_f$ et $x'_f$}\\ &=&g\left(\alpha x_f + \alpha' x'_f\right) \textrm{ par linéarité de $g$}\end{aligned}\] donc par injectivité de \(g\), \(\left(\alpha x + \alpha' x'\right)_f=\alpha x_f + \alpha' x'_f\) et \(f_0\left(\alpha x + \alpha' x'\right)=\alpha f_0\left(x\right)+\beta f_0\left(x'\right)\). On en déduit que \(f_0\in L\left(E\right)\). De plus, par construction, \(g\circ f_0=f\) et \(\varphi\) est bien surjective.


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