Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(f\in L(E)\) un endomorphisme. On définit \[\varphi _f:\mbox{$\left\{ \begin{array}{lcl} L(E) & \longrightarrow & L(E) \\ u & \longrightarrow & f\circ u-u\circ f \end{array} \right. $}\]

  1. Montrer que \(\varphi_f\in L\left( L(E)\right)\).

  2. Montrer que si \(f\) est nilpotent, alors \(\varphi_f\) est aussi nilpotent.


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[ID: 1229] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 913
Par emmanuel le 12 février 2021 11:06
  1. Soient \(u,v\in L(E)\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\). \(\varphi_f\left(\alpha u + \beta v\right) = f\circ\left(\alpha u+\beta v\right)-\left(\alpha u+\beta v\right) \circ f=\alpha\left(f\circ u-u\circ f\right)+\beta\left(f\circ v-v\circ f\right)=\alpha \varphi_f\left(u\right)+\beta\varphi_f\left(v\right)\) par linéarité de \(f\). Donc \(\varphi_f\) est linéaire.

  2. Soit \(u\in L\left(E\right)\). On a \(\varphi_f^2(u)=\varphi_f\left(f\circ u - u\circ f\right)=f^2\circ u -2f\circ u\circ f + u\circ f^2\), puis \(\varphi _f^3(u)=f^3 \circ u -2f^2\circ u\circ f+f\circ u\circ f^2-f^2\circ u \circ f +2f\circ u\circ f^2-u\circ f^3=f^3 \circ u -3f^2\circ u\circ f+3f\circ u\circ f^2 -u\circ f^3\). Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Supposons que \(\varphi_f^n(u)=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^kf^{n-k}uf^k $}\). Montrons que la formule est encore valable au rang \(n+1\). On a (pour simplifier les calculs, on n’écrit pas les symboles de composition \(\circ\)) : \[\begin{aligned} \varphi_f^{n+1}\left(u\right)&=&\varphi_f\left( \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(-1)^kf^{n-k}uf^k\right)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(-1)^k\left(f^{n-k+1}uf^k-f^{n-k}uf^{k+1}\right)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(-1)^k f^{n-k+1}uf^k - \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(-1)^k f^{n-k}uf^{k+1}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(-1)^k f^{n-k+1}uf^k - \sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}(-1)^{k-1} f^{n-k+1}uf^k\\ &=&f^{n+1}u + \sum_{k=1}^n \left(-1\right)^k \left(\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}\right)f^{n+1-k}uf^k+\left(-1\right)^{n+1}uf^{n+1}\\ &=&\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{k}f^{n+1-k}uf^k \end{aligned}\] d’après la relation de Pascal. La formule est donc vraie au rang \(n+1\). On termine en appliquant le théorème de récurrence.

    Si \(p\) est l’indice de nilpotence de \(f\), alors en posant \(n=2p\), et en considérant \(k\in \llbracket 0,n\rrbracket\), soit \(k\geqslant p\) soit \(n-k\geqslant p\). Donc dans tous les cas, \(f^{n-k}uf^k=0\) et comme \(\varphi^n_f\left(u\right)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^kf^{n-k}uf^k\), il vient, pour tout \(u\in L\left(E\right)\) que \(\varphi_f^n\left(u\right)=0\) et \(\varphi_f\) est bien nilpotent..


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