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[ID: 1227] [Date de publication: 12 février 2021 11:06] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 322
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:06

Par hypothèse, pour tout \(x\in E\), il existe \(\lambda (x)\in K\) tel que \(u(x)=\lambda(x).x\). Il faut montrer que l’application \(\lambda :E\longrightarrow K\) est constante. Soient deux vecteurs non nuls \((x, y) \in E^2\). Nous allons montrer que \(\lambda(x) = \lambda(y)\). Comme l’application \(u\) est linéaire, on a \(u(x+y) = u(x) + u(y)\) et donc \(\lambda(x+y).(x+y) = \lambda(x).x + \lambda(y).y\). Donc \[\label{eq:lambda_x_y} \bigl(\lambda(x+y) - \lambda(x)\bigr).x + \bigl(\lambda(x+y) - \lambda(y)\bigr).y = 0_E\] Étudions deux cas :

• Si le système \((x, y)\) est libre, on tire de la relation (), que \(\lambda(x) = \lambda(x+y) = \lambda(y)\).

• Si le système \((x, y)\) est lié, l’un des vecteurs est combinaison linéaire de l’autre. Si par exemple, il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(\alpha\neq 0_{\mathbb{K} }\) tel que \(y = \alpha.x\), comme que \(u\) est linéaire, \(u(y) = u(\alpha.x) = \alpha.u(x)\) et donc \[\lambda(y).y = \bigl(\alpha \times \lambda(x)\bigr).x\] d’où puisque \(y = \alpha .x\), \[\bigl(\alpha \times(\lambda(y) - \lambda(x))\bigr).x = 0_E\] et comme \(x \neq 0_E\), et \(\alpha \neq 0_{\mathbb{K} }\), on obtient également dans ce cas que \(\lambda(x) = \lambda(y)\).

On a donc montré que la fonction \(\lambda\) était constante sur \(E \setminus\{0_E\}\) : il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(\forall x\in E\setminus\{0_E\}\), \(\lambda(x) = \lambda\). On peut poser \(\lambda(0_E) = \lambda\) également et donc \(u = \lambda . \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Par conséquent, l’endomorphisme \(u\) est une homothétie vectorielle.