Soit un \(\mathbb{K}\) espace vectoriel \(E\) et deux endomorphismes \((u,v)\in L(E)\) qui commutent : \[u\circ v = v\circ u\]

  1. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\) et \(\operatorname{Ker}u\) sont stables par \(v\), c’est-à- dire \[v(\operatorname{Ker}u) \subset \operatorname{Ker}u \textrm{ et } v(\mathop{\mathrm{Im}}u) \subset \mathop{\mathrm{Im}}u .\]

  2. Si l’on suppose de plus que \(E=\operatorname{Ker}u \oplus \operatorname{Ker}v\), montrer que \[\mathop{\mathrm{Im}}u \subset \operatorname{Ker}v \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}}v \subset \operatorname{Ker}u\]


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[ID: 1225] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 86
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Montrons que \(\operatorname{Ker}u\) est stable par \(v\). Soit \(x\in \operatorname{Ker}u\), montrons que \(v(x)\in \operatorname{Ker}u\). Pour cela, on calcule \[u\bigl(v(x)\bigr) = u\circ v (x) = v\circ u(x) =v\bigl(u(x)\bigr)=v(0_E)=0_E\] Donc on a bien \(v(x)\in \operatorname{Ker} u\).

    Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\) est stable par \(v\). Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u\). Montrons que \(v(y)\in \mathop{\mathrm{Im}}u\).

    Comme \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u\), \(\exists x\in E\) tel que \(y=u(x)\). Alors \[v(y)=v\circ u(x) = u\circ v (x) = u( v(x)) \in \mathop{\mathrm{Im}}u\]

  2. Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}u \subset \operatorname{Ker}v\): Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u\); \(\exists x\in E\) tel que \(y=u(x)\). Comme \(E=\operatorname{Ker}u + \operatorname{Ker}v\), \(\exists (x_u,x_v)\in \operatorname{Ker}u \times \operatorname{Ker}v\) tel que \[x=x_u+x_v\] Mais alors \[v(y)=v\bigl(u(x_u+x_v)\bigr)=v\bigl(u(x_v)\bigr)=v\circ u (x_v) = u\circ v (x_v)=u(0_E)=0_E\] et donc \(y\in \operatorname{Ker}v\).

    L’autre inclusion se prouve de la même façon.


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