Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(u\) un endomorphisme de \(E\).

  1. On suppose dans cette question que \(u^2=0\).

    1. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}u\subset \operatorname{Ker}u\).

    2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E+u\) est un automorphisme de \(E\).

    1. Montrer que : \({\mathop{\mathrm{Im}}u \cap \operatorname{Ker}u = \left\{0\right\} } \Longleftrightarrow \operatorname{Ker} {u^2}=\operatorname{Ker}u\).

    2. Montrer que : \(\operatorname{Ker}u + \mathop{\mathrm{Im}}u = E \Longleftrightarrow \mathop{\mathrm{Im}}u^2 = \mathop{\mathrm{Im}}u\).

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[ID: 1223] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 541
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:05

    1. Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u\)· Il existe donc \(x\in U\) tel que \(u\left(x\right)=y\). Par conséquent :\(u\left(y\right)=u\circ u\left(x\right)=0\). Donc \(y\in \operatorname{Ker}u\).

    2. On a \(\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\right)\circ\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u\right) = \left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u\right) \circ \left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) donc \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\) est bijective d’inverse \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-u\). \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits+u\) est donc un automorphisme de \(E\).

      • Supposons que \({\mathop{\mathrm{Im}}u \cap \operatorname{Ker}u = \left\{0\right\} }\). Si \(x\in \operatorname{Ker}u\) alors naturellement \(x\in \operatorname{Ker}u^2\). Réciproquement, si \(x\in \operatorname{Ker}u^2\) alors \(u\left(x\right)\in \mathop{\mathrm{Im}}u\) et \(u\left(u\left(x\right)\right)=0\). Donc, par application de l’hypothèse \(u\left(x\right)=0\), donc \(x\in \operatorname{Ker}u\).

      • Si on a : \(\operatorname{Ker}{u^2}=\operatorname{Ker}u\) et si \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u \cap \operatorname{Ker}u = \left\{0\right\}\) alors il existe \(x\in E\) tel que \(y=u\left(x\right)\) et \(u\left(y\right)=u\left(u\left(x\right)\right)=0\). Donc \(x\in\operatorname{Ker}u^2=\operatorname{Ker}u\) et \(y=\i\left(x\right)=0\).

      • Supposons que \(\operatorname{Ker}u + \mathop{\mathrm{Im}}u = E\). Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}} u\). Alors il existe \(x\in E\) tel que \(u\left(x\right)=y\). Appliquant l’hypothèse, il existe \(\left(x_1,x_2\right)\in \operatorname{Ker}u \times \mathop{\mathrm{Im}}u\) tel que \(x=x_1+x_2\). On a alors \(y=u\left(x\right)=u\left(x_2\right)\). Comme \(x_2 \in \mathop{\mathrm{Im}}u\), on a : \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u^2\). Réciproquement, si \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u^2\) alors évidemment, \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}u\).

      • Supposons maintenant que : \(\mathop{\mathrm{Im}}u^2 = \mathop{\mathrm{Im}}u\). Si \(y\in E\) il existe \(x\in E\) tel que \(u\left(y\right)=u\left(u\left(x\right)\right)\). Comme \(u\left(y-u\left(x\right)\right)=u\left(y\right)-u^2\left(x\right)=u\left(y\right)-u\left(y\right)=0\), \(y-u\left(x\right)\in\operatorname{Ker}u\) et on peut décomposer \(y\) en la somme d’un vecteur de \(\operatorname{Ker}u\) et d’un vecteur de \(\mathop{\mathrm{Im}}u\) : \(y=y-u\left(x\right) + u\left(x\right)\). Donc \(\operatorname{Ker}u + \mathop{\mathrm{Im}}u = E\).

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Exercice 541
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