On considère trois \(K\)-espaces vectoriels \(E\),\(F\),\(G\) et deux applications \(E \stackrel {u}{\longrightarrow } F \stackrel {v}{\longrightarrow }G\) telles que :

  1. l’application \(u\) est linéaire et surjective ;

  2. l’application \(vou\) est linéaire de \(E\) vers \(G\).

Montrer que l’application \(v\) est linéaire.


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[ID: 1219] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 633
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05

Montrons que \(v\) est linéaire. Soit \((y_1,y_2) \in F^2\) et \((\lambda, \mu) \in K^2\). Puisque \(u\) est surjective, il existe \((x_1,x_2)\in E^2\) tels que \(y_1=u(x_1)\) et \(y_2=u(x_2)\). Alors \(v\bigl(\lambda y_1+ \mu y_2\bigr) = v\bigl(\lambda u(x_1)+\mu u(x_2)\bigr) =v\bigl( u(\lambda x_1+\mu x_2) \bigr)\) (car \(u\) est linéaire) \(=\lambda v\circ u(x_1) + \mu v\circ u(x_2)\) (car \(v\circ u\) est linéaire) \(=\lambda v(y_1)+\mu v(y_2)\).


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