Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f\in\mathcal L\left(E,F\right)\). Montrer que pour toute partie \(A\) de \(E\), \(f\left(\textrm{ Vect}\left(A\right)\right)=\textrm{ Vect}\left({f\left(A\right)}\right)\).


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[ID: 1217] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 986
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05

Effectuons un raisonnement par double inclusion :

  • \(\textrm{ Vect}\left(A\right)\) est un sous-espace vectoriel   de \(E\) qui contient \(A\). \(f\left(\textrm{ Vect}\left(A\right)\right)\) est donc un sous-espace vectoriel   de \(F\) qui contient \(f\left(A\right)\) car l’image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. Comme \(\textrm{ Vect}\left({f\left(A\right)}\right)\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(F\) contenant \(f\left(A\right)\), on a nécessairement \(f\left(\textrm{ Vect}\left(A\right)\right)\supset\textrm{ Vect}\left({f\left(A\right)}\right)\)

  • Soit \(y\in f\left(\textrm{ Vect}\left(A\right)\right)\). Il existe \(n\in \mathbb{N}^*\), \(\left(x_i\right)_{i=1,\dots,n}\) une famille de vecteurs de \(A\) et \(\left(\lambda_i\right)_{i=1,\dots,n}\) une famille de scalaires de \(\mathbb{K}\) tels que \(\displaystyle{y=f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)}\). Par linéarité, on a :\(\displaystyle{y=\sum_{i=1}^n \lambda_i f\left( x_i\right)}\). Donc \(y\) est élément de \(\textrm{ Vect}\left({f\left(A\right)}\right)\).


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