Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

  1. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}g \Longleftrightarrow gof=0\).

  2. Montrer que \(fog=gof \Rightarrow \operatorname{Ker}g \textrm{ est stable par } f\).

  3. Montrer que \(gof=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\Rightarrow f\) injective.


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[ID: 1215] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 425
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Si \(\mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}g\) alors pour tout \(x\in E\), \(f\left(x\right)\in \mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}g\) donc \(g\left(f\left(x\right)\right)=0\). Donc \(gof=0\). Réciproquement, si \(g\circ f=0\) et si \(y\in\mathop{\mathrm{Im}}f\) alors il existe \(x\in E\) tel que \(y=f\left(x\right)\) et \(g\left(y\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=0\) donc \(y\in \operatorname{Ker}f\). On a alors bien \(\mathop{\mathrm{Im}}f\subset \operatorname{Ker} f\).

  2. Soit \(x\in \operatorname{Ker}g\). Alors \(g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(0\right)=0\) donc \(f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}g\) et \(\operatorname{Ker}g \textrm{ est stable par } f\).

  3. Si \(gof=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et si \(x\in\operatorname{Ker}f\) alors \(0=g\left(0\right)=g\circ f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\left(x\right)=x\). Donc \(x=0\) et \(\operatorname{Ker}f=\left\{0\right\}\). On en déduit que \(f\) est injective.


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