Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(u\in L(E)\) un endomorphisme. On pose \[P=\{ x\in E \mid u(x)=x \}\]

  1. Montrer que \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. Montrer que la somme \(\operatorname{Ker}u + P\) est directe.


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[ID: 1213] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 994
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Il suffit de remarquer que \(P=\operatorname{Ker}( u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et on obtient immédiatement que \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. Montrons que \(P\cap \operatorname{Ker}u=\{0_E\}\). Soit \(x\in P\cap \operatorname{Ker}u\), on a \(u(x)=x\) et \(u(x)=0\) d’où \(x=0\).


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