Soient \(E, F, G\) trois \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, et \(f\in L(E,F)\) et \(g\in L(F,G)\). Montrer que :

  1. \(\operatorname{Ker}(gof) =f^{(-1)}( \operatorname{Ker}g)\)

  2. \(\operatorname{Ker}f \subset \operatorname{Ker}(g\circ f)\)

  3. \(\mathop{\mathrm{Im}}g\circ f \subset \mathop{\mathrm{Im}}g\)


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[ID: 1211] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 684
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Soit \(x\in\operatorname{Ker}g\circ f\) alors comme \(g\left(f\left(x\right)\right)=0\), \(f\left(x\right)\in\operatorname{Ker} g\) et donc \(x\in f^{-1}\left(\operatorname{Ker}g\right)\). Réciproquement, si \(x\in f^{-1}\left(\operatorname{Ker}g\right)\) alors \(f\left(x\right)\in \operatorname{Ker}g\) et \(g\left(f\left(x\right)\right)=0\) ce qui s’écrit aussi \(x\in\operatorname{Ker} g\circ f\).

  2. Si \(x\in \operatorname{Ker}f\) alors \(f\left(x\right)=0\) et donc \(g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(0\right)=0\). Alors \(x\in \operatorname{Ker}g\circ f\).

  3. Si \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}g\circ f\) alors il existe \(x\in E\) tel que \(g\left(f\left(x\right)\right)=y\). Il est alors clair que \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}g\) (un antécédent de \(y\) par \(g\) est \(f\left(x\right)\)).


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