Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\). On définit \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & \varphi(f) \end{array} \right. \textrm{ où } \varphi(f):\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x} f(x) & \textrm{ si} x\neq 0 \\ f(0) & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \(\varphi\) est bien définie et que \(\varphi\in L(E)\).

  2. Déterminer \(\operatorname{Ker}\varphi\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi\).


Barre utilisateur

[ID: 1209] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 227
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05

En utilisant les équivalents usuels (ou plus simplement en écrivant le taux d’accroissement de \(\mathop{\mathrm{sh}}\) en \(0\)), on montre que \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{ } 1\). La fonction \(\varphi(f)\) est donc continue en \(0\) et donc \(\varphi(f)\in E\).

Cherchons \(\operatorname{Ker}\varphi\): Soit \(f\in \operatorname{Ker}\varphi\). Alors \(\forall x\neq 0\), \(\varphi(f)(x)=0\) et donc \(\forall x\neq 0\), \(f(x)=0\) et comme \(f\) est continue en \(0\), il vient également que \(f(0)=0\). Par conséquent, \(f=0_E\). Donc \(\operatorname{Ker}\varphi= \{0_E\}\).

Montrons que \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi=E\). Soit \(g\in E\). Définissons \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{x}{\mathop{\mathrm{sh}}x}g(x) & \textrm{ si } x\neq 0 \\ g(0) & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\]

On vérifie que \(f\) est continue en \(0\), donc que \(f\in E\) et que \(\varphi(f)=g\). Par conséquent, \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi= E\).

Donc \(\boxed{ \varphi\in \mathrm{GL}_{ }(E) }\).


Documents à télécharger