On considère \(\mathbb{C}\) comme un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & (1+ia)z+(1-ia)\bar z \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \(f\) est linéaire.

  2. Déterminer \(\operatorname{Ker}f\) et le représenter dans le plan complexe (on prendra \(a=1\)).

  3. Déterminer \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et le représenter dans le plan complexe (lorsque \(a=1\)).

  4. Lorsque \(a=1\), trouver les antécédents de \(1\) par \(f\) et représenter l’ ensemble \(f^{(-1)}(\{1\})\).


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[ID: 1207] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 705
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On vérifie sans peine que \(f\) est linéaire.

  2. Soit \(z\in \operatorname{Ker}f\). Alors \(f(z)=0\). En notant \(u=1+ia\) et en remarquant que \(f(z)=(uz)+\overline{(uz)}=2\mathop{\mathrm{Re}}(uz)\), on obtient que \(\mathop{\mathrm{Re}}(uz)=0\). Donc il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \(uz=i\lambda\), et donc \(z=\dfrac{i\lambda}{u}=\lambda\left(\dfrac{a}{1+a^2}+ \dfrac{i}{1+a^2}\right)\). On vérifie que réciproquement, tout complexe de cette forme est dans \(\operatorname{Ker}f\). Par conséquent, \[\boxed{ \operatorname{Ker}f=\mathop{\mathrm{Vect}}( {a}+{i} ) }\]

  3. Soit \(Z\in \mathbb{C}\). Cherchons \(z\in \mathbb{C}\) tel que \(f(z)=Z\). Puisque \(Z=2\mathop{\mathrm{Re}}(uz)\), il faut nécessairement que \(Z\in \mathbb{R}\). Réciproquement, si \(Z\in \mathbb{R}\), alors \(f(Z/(2u))=\mathop{\mathrm{Re}}(2u Z/(2u))=Z\). Par conséquent, \(\boxed{\mathop{\mathrm{Im}}f=\mathbb{R} }\).

  4. Lorsque \(Z=1\) et \(a=1\), on trouve que \(z=\dfrac{1}{2(1+i)}+\dfrac{i\lambda}{2(1+i)}= \dfrac{(1-i)}{4} + \lambda \dfrac{1+i}{4}\). C’est une droite affine passant par le point \(\dfrac{1-i}{4}\) et parallèle à la droite vectorielle \(\operatorname{Ker} f\).


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