Soient \(X\) un ensemble non vide et \(a\in X\). Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr F\left(X,E\right) & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f\left(a\right) \end{array} \right.\]

  1. Prouver que \(\theta\) est une application linéaire.

  2. Déterminer l’image de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est surjective.

  3. Déterminer le noyau de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est injective.


Barre utilisateur

[ID: 1205] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 97
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On montre facilement que \(\theta\) est linéaire.

  2. Soit \(v\in E\). On veut montrer qu’il existe une application \(f\in \mathscr F\left(X,E\right)\) tel que : \(f\left(a\right)=v\). Il suffit de considérer l’application constante \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} X & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & u \end{array} \right.\). \(\theta\) est donc surjective.

  3. Il est clair que \(\operatorname{Ker}\theta_a = \left\{f\in \mathscr F\left(X,E\right) ~|~ f\left(a\right)=0\right\}\). L’application \(\theta\) n’est donc pas injective.


Documents à télécharger