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Exercice 97
Soient \(X\) un ensemble non vide et \(a\in X\). Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr F\left(X,E\right) & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f\left(a\right) \end{array} \right.\]
Prouver que \(\theta\) est une application linéaire.
Déterminer l’image de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est surjective.
Déterminer le noyau de \(\theta_a\) et dire si \(\theta\) est injective.
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[ID: 1205] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 97
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:05
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:05
On montre facilement que \(\theta\) est linéaire.
Soit \(v\in E\). On veut montrer qu’il existe une application \(f\in \mathscr F\left(X,E\right)\) tel que : \(f\left(a\right)=v\). Il suffit de considérer l’application constante \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} X & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & u \end{array} \right.\). \(\theta\) est donc surjective.
Il est clair que \(\operatorname{Ker}\theta_a = \left\{f\in \mathscr F\left(X,E\right) ~|~ f\left(a\right)=0\right\}\). L’application \(\theta\) n’est donc pas injective.
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