Soit \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right) \\ f & \longmapsto & f''-2f'+f \end{array} \right.\]

  1. Prouver que \(\varphi\) est un endomorphisme.

  2. Calculer \(\operatorname{Ker}\varphi\).

  3. \(\varphi\) est-elle injective?


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[ID: 1203] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1035
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Soient \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\), \(f,g\in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). Utilisant la linéarité de la dérivation : \(\varphi\left(\alpha+\beta g\right) = \left(\alpha+\beta g\right)'' -2\left(\alpha+\beta g\right)'+\left(\alpha+\beta g\right)=\alpha\left(f''-2f'+f\right)+\beta\left(g''-2g'+g\right)=\alpha\varphi\left(f\right)+\beta \varphi\left(g\right)\). \(\varphi\) est bien linéaire.

  2. Soit \(f\in\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). \(f\in\operatorname{Ker}f\) si et seulement si \(f''-2f'+f=0\). En appliquant le théorème de résolution des équations différentielles linéaires du second degré à coefficients constants, on obtient : \(\operatorname{Ker}f=Vect\left(t\mapsto te^{t},t\mapsto e^t\right)\).

  3. Il est alors clair que \(\varphi\) n’est pas injective.


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