Soit \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],{\mathbb{R}}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & \int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right. .\]

  1. Prouver que \(\theta\) est une forme linéaire.

  2. \(\theta\) est-elle injective?

  3. Démontrer que \(\theta\) est surjective.


Barre utilisateur

[ID: 1201] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 764
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On montre facilement que \(\theta\) est linéaire. Comme \(\theta\) est à valeur dans \(\mathbb{R}\), c’est une forme linéaire.

  2. On a :\(\int_{-1}^{1} t\,\textrm{d}t=0\) donc \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{\left[-1,1\right]}\in \operatorname{Ker}\theta\). \(\theta\) n’est donc par injective.

  3. Montrons que \(\theta\) est surjective : soit \(\alpha\in\mathbb{R}\). Montrons qu’il existe \(f\in \mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],{\mathbb{R}}\right)\) telle que \(\int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=\alpha\). Il suffit de considérer par exemple la fonction constante \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & {\scriptstyle\alpha\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\). On a bien \(\theta \left(f\right)=\alpha\). \(\theta\) est donc surjective.


Documents à télécharger