Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & \theta\left(P\right)=P\left(X+1\right)-P\left(X\right) \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(\theta\) est linéaire.

  2. \(\theta\) est-elle bijective?


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[ID: 1197] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 204
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On vérifie facilement que \(\theta\) est linéaire.

  2. L’image d’un polynôme constant par \(\theta\) est un polynôme nul. Par suite, le noyau de \(\theta\) ne contient pas que le vecteur nul et donc \(\theta\) n’est pas injective.


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