Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ P & \longmapsto & \left(P\left(0\right),P\left(1\right),P\left(2\right)\right) \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(\theta\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_2\left[X\right],\mathbb{R}^3\right)\).

  2. Montrer que \(\theta\) est injective.

  3. Montrer que \(\theta\) est surjective.


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[ID: 1195] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 619
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On vérifie facilement que \(\theta\) est linéaire.

  2. Montrons que \(\theta\) est injective. Soit \(P\in \operatorname{Ker}\theta\). On a donc à la fois : \(\deg P \leqslant 2\) et \(P\left(0\right)=P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\). Le polynôme \(P\) est donc un polynôme de degré \(\leqslant 2\) qui admet au moins \(3\) racines. Ceci n’est possible que si \(P=0\). Donc \(\operatorname{Ker}\theta = \left\{0\right\}\) et \(\theta\) est injective.

  3. Avec les outils du chapitre Dimension d’un espace vectoriel , il sera très facile de montrer que \(\theta\) est surjective grâce à la formule du rang et à un raisonnement sur les dimensions des espaces ici considérés. En attendant de connaître ces résultats, il faut procéder à la main. Soit \(\left(s,t,u\right)\in\mathbb{R}^3\). On cherche un polynôme \(P=aX^2+bX+c\) tel que \(\left(P\left(0\right),P\left(1\right),P\left(2\right)\right)=\left(s,t,u\right)\). Ceci amène le système : \(\begin{cases} c=s\\ a+b+c= t\\ 4a+2b+c=u \end{cases}\) qui admet comme unique solution : \(\left(s/2-t+u/2,-3/2s+2t-u/2,s\right)\). L’application \(\theta\) est donc surjective. En résumé, \(\theta\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) dans \(\mathbb{R}^3\).

    On peut aussi écrire \[\theta\left(aX^2+bX+c\right)=\left(c,a+b+c,4a+2b+c\right)=Vect\left(\left(0,1,4\right),\left(0,1,2\right),\left(1,1,1\right)\right)=\mathbb{R}^3\] car ces trois vecteurs ne sont pas coplanaires.


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