Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire \[u:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x,y,z) & \longmapsto & (x+y-z, x-y+2z) \end{array} \right.\] Est-elle injective? Surjective?


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[ID: 1193] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 868
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05

On a \(\left(x,y,z\right)\in\operatorname{Ker}u \Longleftrightarrow\begin{cases} x+y-z&=0\\ x-y+2z&=0 \end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases} z&=-2x\\ y&=-3x\end{cases}\) donc \(\operatorname{Ker} u=Vect\left(1,-3,-2\right)\). \(u\) n’est donc pas injective. Par ailleurs, \(\mathop{\mathrm{Im}} u=\left\{(x+y-z, x-y+2z) ~|~ \left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\right\}=\left\{x\left(1,1\right)+y\left(1,-1\right)+z\left(-1,2\right)~|~ \left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\right\}=Vect\left(\left(1,1\right),\left(1,-1\right),\left(-1,2\right)\right)=\mathbb{R}^2\) car les vecteurs \(\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\) sont non colinéaires et ils engendrent donc le plan. \(u\) est donc surjective.


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