Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(2x-y,x+y\right) \end{array} \right.\)

  1. Prouver que \(f\) est linéaire.

  2. Déterminer le noyau et l’image de \(f\).


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[ID: 1191] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 487
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. On vérifie facilement que \(f\) est linéaire.

  2. Montrons que \(f\) est bijective. On en déduira que \(\operatorname{Ker}f = \left\{0\right\}\) et que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathbb{R}^2\). Soit \(\left(X,Y\right)\in\mathbb{R}^2\). Il suffit de montrer qu’il existe un et seul couple \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(f\left(x,y\right)=\left(X,Y\right)\). Pour ce faire, résolvons : \(\begin{cases} 2x-y=X\\x+y=Y \end{cases}\). L’unique solution est \(\left(x=\dfrac{X+Y}{3},y=\dfrac{2Y-X}{3}\right)\) et \(f\) est donc bien bijective.


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