Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^6 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x,0,y,0,z,0\right) \end{array} \right.\)

  1. Prouver que \(f\) est linéaire.

  2. Déterminer le noyau de \(f\).

  3. Déterminer l’image de \(f\).


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[ID: 1189] [Date de publication: 12 février 2021 11:05] [Catégorie(s): Image et noyau d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 441
Par emmanuel le 12 février 2021 11:05
  1. Facile.

  2. Soit \(\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\). On a : \(\left(x,y,z\right)\in\operatorname{Ker}f \Longleftrightarrow f\left(x,y,z\right)=0 \Longleftrightarrow\left(x,0,y,0,z,0\right)=\left(0,0,0,0,0,0\right) \Longleftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right)\) donc \(\operatorname{Ker}f = \left\{\left(0,0,0\right)\right\}\) et \(f\) est injective.

  3. \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \left\{f\left(x,y,z\right) ~|~ \left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\right\} = \left\{\left(x,0,y,0,z,0\right) ~|~ \left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 \right\} = \mathbb{R}\times\left\{0\right\}\times\mathbb{R}\times\left\{0\right\}\times\mathbb{R}\times\left\{0\right\}\).


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