On considère \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(x-y\right),{\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(x+y\right)\right) \end{array} \right.\]

  1. Montrer que \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^2\).

  2. Déterminer son automorphisme réciproque.

  3. Interpréter géométriquement \(f\).


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[ID: 1187] [Date de publication: 12 février 2021 11:03] [Catégorie(s): Applications linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 301
Par emmanuel le 12 février 2021 11:03
  1. On vérifie facilement que \(f\) est linéaire. Montrons que \(f\) est bijective : Soit \(\left(X,Y\right)\in \mathbb{R}^2\). Il suffit de montrer qu’il existe un et un seul couple \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(f\left(x,y\right)=\left(X,Y\right)\). Cela revient à résoudre le système : \(\begin{cases}{\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(x-y\right)=X\\ {\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(x+y\right)=Y \end{cases}\). On trouve \(x={\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(X+Y\right)\) et \(y=-{\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(X-Y\right)\) et \(f\) est bien bijective. En résumé, \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^2\).

  2. En utilisant les calculs de la question précédente, on a : \(f^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(X,Y\right) & \longmapsto & \left({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(X+Y\right),-{\scriptstyle \sqrt{2}\over\scriptstyle 2}\left(X-Y\right)\right) \end{array} \right.\).

  3. Remarquons que : \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(\cos{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} x- \sin{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}y,\cos{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} x+ \sin{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}y\right) \end{array} \right.\). \(f\) est donc la rotation vectorielle d’angle \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\). On reconnaît par ailleurs que \(f^{-1}\) est celle d’angle \(-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\), ce qui est cohérent.


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