Vérifier si les applications entre \(\mathbb{R}\)-espace vectoriels suivantes sont linéaires ou pas.

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & x-y \end{array} \right.\)

  2. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & x+y+1 \end{array} \right.\)

  3. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(x+y,x-y\right) \end{array} \right.\)

  4. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x-y,x+z\right) \end{array} \right.\)

  5. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & xyz \end{array} \right.\)

  6. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & f\left(1\right) \end{array} \right.\)

  7. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R}\right) \\ f & \longmapsto & 2f+f' \end{array} \right.\)

  8. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longmapsto & \int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right.\)

  9. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(u_n\right) & \longmapsto & \left(u_0,u_1\right) \end{array} \right.\)

  10. \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto & \left(X^2+1\right)P \end{array} \right.\)


Barre utilisateur

[ID: 1185] [Date de publication: 12 février 2021 11:03] [Catégorie(s): Applications linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 91
Par emmanuel le 12 février 2021 11:03
  1. Soient \(\alpha,\alpha'\in \mathbb{R}\) et \(u=\left(x,y\right),u'=\left(x',y'\right) \in \mathbb{R}^2\). On a : \(f\left(\alpha u + \alpha' u'\right) = f\left(\alpha x+\alpha' x',\alpha y+\alpha' y'\right)=\left(\alpha x+\alpha' x'\right)-\left(\alpha y+\alpha' y'\right) = \alpha\left(x-y\right)+\alpha'\left(x'-y'\right)=\alpha f\left(u\right)+\alpha' f\left(u'\right)\). \(f\) est bien linéaire.

  2. \(f\left(0,0\right)=1\). \(f\) n’est donc pas linéaire.

  3. Soient \(\alpha,\alpha'\in \mathbb{R}\) et \(u=\left(x,y\right),u'=\left(x',y'\right) \in \mathbb{R}^2\). On a : \(f\left(\alpha u + \alpha' u'\right) = f\left(\alpha x+\alpha' x',\alpha y+\alpha' y'\right)=\left(\left(\alpha x+\alpha' x'\right)+\left(\alpha y+\alpha' y'\right),\left(\alpha x+\alpha' x'\right)-\left(\alpha y+\alpha' y'\right)\right)=\alpha\left(x+y,x-y\right)+\alpha'\left(x'+y',x'-y'\right)=\alpha f\left(u\right)+\alpha' f\left(u'\right)\). \(f\) est bien linéaire.

  4. Par un calcul analogue au précédent, on montre que \(f\) est linéaire.

  5. On a \(f\left(2\left(1,1,1\right)\right)=f\left(2 ,2 ,2 \right) = 2^3 \neq 2 f\left(1,1,1\right)=2\). \(f\) n’est donc pas linéaire.

  6. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(f,g\in \mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). On a : \(\theta\left(\alpha f + \beta g\right) = \left(\alpha f + \beta g\right)\left(1\right)=\alpha f\left(1\right)+\beta g\left(1\right)=\alpha \theta \left(f\right) + \beta \theta \left(g\right)\). \(\theta\) est bien linéaire.

  7. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(f,g\in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\). On a, par linéarité de la dérivation : \(\theta\left(\alpha f + \beta g\right) = 2\left(\alpha f + \beta g\right)+\left(\alpha f + \beta g\right)'=\alpha\left(2f+f'\right) + \beta\left(2g+g'\right) =\alpha \theta \left(f\right) + \beta \theta \left(g\right)\). \(\theta\) est bien linéaire.

  8. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(f,g\in \mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R}\right)\). On a, par linéarité de l’intégrale : \(\theta\left(\alpha f + \beta g\right) = \int_{0}^{1} \left(\alpha f + \beta g\right)\left(t\right)\,\textrm{d}t=\alpha\int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t + \beta \int_{0}^{1} g\left(t\right)\,\textrm{d}t=\alpha \theta \left(f\right) + \beta \theta \left(g\right)\). \(\theta\) est bien linéaire.

  9. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(u, v\in\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\). On a : \(\theta\left(\alpha u + \beta v\right) = \left(\alpha u_0+\beta v_0,\alpha u_1+\beta v_1\right) =\alpha\left(u_0,u_1\right)+\beta \left(v_0,v_1\right) =\alpha \theta \left(u\right) + \beta \theta \left(v\right)\). \(\theta\) est bien linéaire.

  10. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(P,Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\). On a : \(\theta\left(\alpha P + \beta Q\right) = \left(X^2+1\right)\left(\alpha P + \beta Q\right)= \alpha\left(X^2+1\right) P + \beta\left(X^2+1\right) Q=\alpha \theta \left(P\right) + \beta \theta \left(Q\right)\). \(\theta\) est bien linéaire.


Documents à télécharger