Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espaces vectoriels \(A\) et \(B\) de \(E\). On suppose qu’il existe un supplémentaire \(A'\) de \(A\cap B\) dans \(A\) et un supplémentaire \(B'\) de \(A\cap B\) dans \(B\). Montrer que \[A + B = (A\cap B) \oplus (A' + B')\]


Barre utilisateur

[ID: 1183] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 820
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01
  1. La somme est directe : montrons que \((A\cap B) \cap (A' + B') = \{ 0_E\}\). Soit \(x \in (A\cap B) \cap(A' + B')\). Comme \(x \in A' + B'\), il existe \((a', b') \in A' \times B'\) tels que \(x = a' + b'\). Alors \(b' = x - a' \in A\) et donc \(b' \in A \cap B\). Puisque la somme \(A\cap B + B'\) est directe, il vient que \(b' = 0_E\). On montre de la même manière que \(a' = 0_E\) et donc ensuite que \(x = 0_E\).

  2. \((A\cap B) + (A' + B') \subset A + B\) est claire. Soit \(x \in (A\cap B) + (A' + B')\). Il existe \((y, a', b') \in (A\cap B) \times A' \times B'\) tels que \(x = (y + a') + b' \in A + B\).

  3. \(A + B \subset (A\cap B) + (A' + B')\). Soit \(x \in A + B\). Il existe \((a, b) \in A \times B\) tels que \(x = a + b\). Comme \(A = (A\cap B) + A'\), \(\exists (y_1, a') \in (A\cap B) \times A'\) tels que \(a = y_1 + a'\). De même, \(\exists (y_2, b') \in (A\cap B) \times B'\) tels que \(b = y_2 + b'\). Alors \(x = y_1 + a' + y_2 + b' = \underbrace{(y_1+y_2)}_{\in A \cap B} + (\underbrace{a'}_{\in A'} + \underbrace{b'}_{\in B'})\) et donc \(x \in (A\cap B) + (A' + B')\).


Documents à télécharger