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Exercice 1026
On définit dans l’espace \(E\) des suites réelles : \[F = \{ (x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n = 0 \}\] \[G = \{(x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+1} + x_n = 0 \}\] \[H = \{(x_n) \in E \mid \forall n \in \mathbb N, \quad x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n = 0 \}\] Montrer que \(F = G\oplus H\).
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[ID: 1181] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1026
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
On montre d’abord que \(G\subset F\). Si \(\left(x_n\right)\in G\) et si \(n\in\mathbb{N}\) alors \(x_{n+1}+x_n=0\) et \(x_{n+3}+x_{n+2}=0\) donc \(x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n =-2\left(x_{n+2}+x_{n+1}\right) =0\). On montre aussi que \(H\subset F\). Soit \(\left(x_n\right)\in H\) et \(n\in\mathbb{N}\). Alors \(x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0\).
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