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[ID: 1181] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 1026
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01

On montre d’abord que \(G\subset F\). Si \(\left(x_n\right)\in G\) et si \(n\in\mathbb{N}\) alors \(x_{n+1}+x_n=0\) et \(x_{n+3}+x_{n+2}=0\) donc \(x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n =-2\left(x_{n+2}+x_{n+1}\right) =0\). On montre aussi que \(H\subset F\). Soit \(\left(x_n\right)\in H\) et \(n\in\mathbb{N}\). Alors \(x_{n+3} - x_{n+2} - x_{n+1} + x_n=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0\).

1. Montrons que \(G\cap H= \{0_E\}\). Soit \((x_n) \in G\cap H\). Comme \((x_n) \in G\), on montre que \(\forall n\in \mathbb N\), \(x_n = (-1)^n x_0\). En écrivant que \((x_n) \in H\), on trouve que \(\forall n\in \mathbb N\), \((-1)^n x_0[1 + 2 + 1] = 0\) ce qui montre que \(x_0 = 0\) et par la suite, \((x_n) = 0_E\).

2. Montrons que \(F = G + H\). On a déjà prouvé que \(G \subset F\) et \(H\subset F\). Par conséquent, \(G + H \subset F\). Il nous faut montrer que \(F \subset G + H\). Soit \((x_n) \in F\). En effectuant une partie recherche, si \((x_n) = (u_n) + (v_n)\) avec \((u_n) \in G\) et \((v_n) \in H\), puisque \((u_n) \in G\), il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \((u_n)= \lambda \bigl( (-1)^n \bigr)\). En écrivant que \((v_n) = (x_n) - (u_n)\), puisque \((v_n) \in H\), il faut que \(v_2 - 2v_1 + v_0=0\) et par conséquent, on trouve que \(\lambda = \dfrac{x_0 - 2x_1 + x_2}{4}\).

   Partie rédaction : Posons \(\forall n \in \mathbb N\), \[u_n = \dfrac{x_0 - 2x_1 + x_2}{4}(-1)^n\] \[v_n = x_n - \dfrac{x_0 - 2x_1 + x_2}{4}(-1)^n\] On a bien \((u_n) + (v_n) = (x_n)\), et \((u_n) \in G\). Montrons que \((v_n) \in H\). Soit \(n\in \mathbb N\), \[v_{n+2}-2v_{n+1} + v_n = (x_{n+2}-2x_{n+1} + x_n) - (x_0 - 2x_1 + x_2)(-1)^n\] On montre par récurrence sur \(n\) (car \((x_n) \in F\)), que cette quantité est nulle pour tout entier \(n\).