Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(A,B,C\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant \[E= A\oplus B \textrm{ et } A\subset C\] Montrer que \(C=A\oplus (B\cap C)\).


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[ID: 1179] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 975
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01

Soit \(x\in A\cap \left(B\cap C\right)\) alors \(x\in A\cap B=\left\{0\right\}\) car \(A\) et \(B\) sont en somme directe. Donc \(x=0\) et les deux sous-espaces vectoriels \(A\) et \(B\cap C\) sont bien en somme directe. Montrons que \(C=A + \left(B\cap C\right)\). Soit \(x\in C\). Comme \(x\in E\) et que \(E= A\oplus B\), il existe un unique couple \(\left(x_A,x_B\right)\in A\times B\) tel que \(x=x_A+x_B\). Comme \(A\subset C\), \(x_A\in C\) et comme \(C\) est un sous-espace vectoriel  de \(E\), \(x-x_A \in C\). Il vient donc \(x_B \in C\) ce qui prouve que \(x_B \in B\cap C\). On a alors montré que \(x\in A +(B\cap C)\) et donc \(C = A +(B\cap C)\). En résumé : \(C=A\oplus (B\cap C)\).


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