Soit \(E\) un K-e.v. et \(A,B\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). Soit \(C\) un supplémentaire de \(A\cap B\) dans \(B\). Montrer que \(A+B=A\oplus C\).


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[ID: 1177] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 439
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01
  1. Montrons que la somme \(A+C\) est directe. Soit \(x\in A\cap C\), puisque \(x\in A\) et \(x\in B\) (car \(C\subset B\)), \(x\in A\cap B\) et \(x\in C\). Comme \((A\cap B)\oplus C=B\), il vient que \(x=0\).

  2. Montrons que \(A+C=A+B\). Comme \(C\subset B\), il est immédiat que \(A+C\subset A+B\). Montrons donc que \(A+B\subset A+C\). Soit \(x\in A+B\). Il existe \(x_A\in A\) et \(x_B\in B\) tel que \(x=x_A+x_B\). Comme \(B=(A\cap B) + C\), il existe \(x_{A\cap B}\in A\cap B\) et \(x_C\in C\) tel que \(x_B=x_{A\cap B} + x_C\). Alors \[x=(x_A+x_{A\cap B}) + x_C\] avec \(x_A+x_{A\cap B} \in A\) et \(x_C \in C\).


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