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Soit \(E=\mathbb{R}^{n}\) on considère \[H=\{ (x_1, \dots , x_n) \in E~|~ x_1+\dots +x_n=0\}\] Montrer que \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et trouver un supplémentaire de \(H\). Le supplémentaire trouvé est-il unique?
Exercice 271
( ). Faire un dessin de \(H\) lorsque \(n=2\) et \(n=3\).
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[ID: 1175] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 271
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
On montre sans problème que \(H\) est un sous-espace vectoriel. Considérons \(a=(1,\dots,1)\in R^{n}\). Alors \(a\not\in H\). Montrons que \(E=\mathop{\mathrm{Vect}}(a)\oplus H\).
\(\boxed{\mathop{\mathrm{Vect}}(a)\cap H=\left\{0\right\}}\) : Soit \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\cap H\): il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\), tel que \(x=\lambda a=(\lambda,\dots,\lambda)\). Mais comme \(x\in H\), \(n\lambda=0\) d’où \(\lambda=0\) et \(x=0\).
\(\boxed{E=\mathop{\mathrm{Vect}}(a)+H}\) : Soit \(x=(x_1,\dots,x_n)\in E\). En supposant le problème résolu, il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\) et \(h\in H\) tels que \(x=\lambda a + h\). Alors il faut que \(x-\lambda a =(x_1-\lambda,\dots,x_n-\lambda)\in H\) et donc que \(\lambda=\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\).
Posons donc \(\lambda=\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\) et \(h=x-\lambda a\). On vérifie que \(x=\lambda a + h\) et que \(h\in H\), \(\lambda a \in \mathop{\mathrm{Vect}}(a)\).
Le supplémentaire trouvé n’est pas unique (cf dessin dans \(\mathbb{R}^{3}\)): il suffit de prendre un vecteur \(a\not\in H\) et alors \(E=\mathop{\mathrm{Vect}}(a)\oplus H\).
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