\(E=\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\) et \(F=\left\{ f\in E; f(0)=f(1)=0\right\}\). Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et trouver un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).
( ).
Considérer l’ensemble des fonctions telles que \(\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}\), \(f(x)=0\).

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[ID: 1173] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 169
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01

On montre que la fonction nulle est dans \(F\), et que \(F\) est stable par combinaison linéaire. Soit \[G=\{ f\in E; \forall x\in \mathbb{R} , x\neq 0, x\neq 1, f(x)=0 \}\] On montre sans problème que \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Alors \(\boxed{ F\cap G=\{0_E \} }\) (c’est clair). Montrons ensuite que \(E=F+G\): soit \(f\in E\). Définissons \[f_F=\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} 0 & \textrm{ si } x=0 \textrm{ ou }1 \\ f(x) & \textrm{ sinon } \end{cases} \end{array} \right. \textrm{ et } f_G:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} f(0) & \textrm{ si } x=0 \\ f(1) & \textrm{ si } x=1 \\ 0 & \textrm{ sinon } \end{cases} \end{array} \right.\]

On a bien, \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x)=f_F(x)+f_G(x)\) et \(f_F\in F\), \(f_G\in G\). Finalement, \(E=F\oplus G\).


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