Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)\)

\[F=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)~|~\int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=\left\{f\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)~|~ f \textrm{ est constante}\right\}\]


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[ID: 1171] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 411
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01

On montre facilement que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)\). L’intersection \(F\cap G\) est réduite au vecteur nul. En effet, si la fonction \(f\in F\cap G\) alors \(f\) est une fonction constante égale à un réel \(c\) d’intégrale nulle sur \(\left[-1,1\right]\) ce qui amène \(2c=0\), c’est-à-dire \(c=0\). \(f\) est donc identiquement nulle. De plus, si \(h\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[-1,1\right],\mathbb{C}\right)\), en posant \(\alpha=\int_{-1}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t\) et en désignant par \(g\) la fonction constante sur \(\left[-1,1\right]\) égale à \(\alpha\), on vérifie facilement que \(h-g\in F\) et donc \(E=F+G\). En résumé : \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\).


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