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Exercice 568
Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)
\[F=\left\{f\in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~f\left(0\right)=f'\left(0\right)=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=Vect\left(x\mapsto 1,\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_\mathbb{R}\right)\]
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[ID: 1169] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 568
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 février 2021 11:01
Il est clair que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). Il est aussi facile de montrer que \(F\cap G=\left\{0\right\}\). En effet, si \(f\in F\cap G\) alors \(f\) est une fonction affine qui s’annule en \(0\) et dont la dérivée s’annule aussi en \(0\). \(f\) est donc nécessairement identiquement nulle. Par ailleurs, si \(h\in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) alors notant : \(g:x \mapsto h'\left(0\right)x+h\left(0\right)\), on a :\(h-g\in F\) ce qui montre que \(E=F\oplus G\).
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