Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)

\[F= \left\{f\in E~|~ f\left(1\right)=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\{ f\in E~|~ \exists a\in \mathbb{R} :\, \forall x\in \mathbb{R} ,\, f(x)=ax \}\]


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[ID: 1167] [Date de publication: 12 février 2021 11:01] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 930
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01

On vérifie facilement que \(F\) est sous-espace vectoriel de \(E\). On remarque que \(G=Vect\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_R\right)\) et donc \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Si \(f\in F\cap G\) alors il existe \(a\in\mathbb{R}\) tel que \(f:x\mapsto ax\). Mais comme \(f\left(1\right)=0\), il vient que \(a=0\) et donc que \(f=0\). L’ intersection de \(F\) et \(G\) est donc réduite à la fonction identiquement nulle sur \(\mathbb{R}\). Notons \(\varphi\) la fonction constante égale à \(1\) sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\in E\). On a, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f\left(x\right) = f\left(x\right)-f\left(1\right).\varphi\left(x\right) + f\left(1\right).\varphi\left(x\right)\). Il est clair que \(f-f\left(1\right)\varphi\in F\) et que \(f\left(0\right)\varphi\in G\). On en déduit que \(E=F+G\). En conclusion, on a bien \(E=F\oplus G\).


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