On considère dans \(E=\mathbb{R}_4\left[X\right]\) les sous-ensembles \(\mathcal P=\left\{P\in E~|~ P \textrm{ est pair}\right\}\) et \(\mathcal I=\left\{P\in E~|~ P \textrm{ est impair}\right\}\).

  1. Soit \(P\in E\). Montrer que \(P\in \mathcal P\) si et seulement si les coefficients de ses termes de degré impair sont nuls.

  2. Soit \(P\in E\). Montrer que \(P\in \mathcal I\) si et seulement si les coefficients de ses termes de degré pair sont nuls.

  3. Montrer que \(\mathcal P\) et \(\mathcal I\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).

  4. Montrer que \(E=\mathcal P \oplus \mathcal I\).


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[ID: 1165] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1041
Par emmanuel le 12 février 2021 11:01
  1. Supposons que \(P=a_4X^4+a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X+a_0\) avec \(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}\). Si \(P\) est pair alors \(P\left(-X\right)=P\left(X\right)\) et \(a_4X^4+a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X+a_0 = a_4X^4-a_3 X^3 + a_2 X^2 - a_1 X+a_0\) donc \(a_3 X^3+a_1X=0\) ce qui amène \(a_3=a_1=0\) car un polynôme est nul si et seulement si ses coefficients sont nuls. Les coefficients des termes de degré impair de \(P\) sont donc bien nuls. Réciproquement, on vérifie facilement que si \(a_3=a_1=0\) alors \(P\) est pair.

  2. Même raisonnement que dans la question précédente.

  3. On tire des deux premières questions que \(\mathcal P=Vect\left(1,X^2,X^4\right)\) et \(\mathcal I=Vect\left(X,X^3\right)\). Ces deux ensembles sont donc des sous-espaces vectoriels de \(E\).

  4. Soit \(P\in \mathcal P \cap \mathcal I\). Alors les coefficients des termes de degré pair et les coefficients des termes de degré impair de \(P\) sont nuls. Donc \(P\) est nul et \(\mathcal P\), \(\mathcal I\) sont en somme directe. Si \(P=a_4X^4+a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X+a_0\in E\) alors \[P=\underbrace{a_4X^4+ a_2 X^2 +a_0}_{\in\mathcal P}+ \underbrace{a_3 X^3 + a_1 X}_{\in\mathcal I}\] donc \(E=\mathcal P + \mathcal I\). En conclusion, \(E=\mathcal P \oplus \mathcal I\).


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