Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}_2\left[X\right]\)

\[F= \left\{P\in \mathbb{R}_2\left[X\right] ~|~ P'=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{P\in E~|~ P(0)=0\right\}\]


Barre utilisateur

[ID: 1163] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 223
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

Comme \(F=Vect\left(1\right)\) et \(G=Vect\left(X,X^2\right)\), ces deux ensembles sont des sous-espace vectoriels de \(E\). Il est clair que \(F\cap G=\left\{0\right\}\) car si \(P\in F\) alors \(P\) est un polynôme constant qui ne peut être combinaison linéaire de \(X\) et \(X^2\) que si les coefficients de cette combinaison linéaire sont nuls. Il est aussi clair que tout polynôme de \(E\) s’écrit comme la somme d’un polynôme constant et d’une combinaison linéaire de \(X\) et \(X^2\). On a donc bien : \(E=F\oplus G\).


Documents à télécharger