Soient \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \right\}\) et \(G=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+y-z=0 \right\}\). Ces deux sous-espaces sont-ils en somme directe dans \(\mathbb{R}^3\)?


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[ID: 1161] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 679
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

On montre facilement que \(F=Vect\left(\left(1,1,0\right),\left(0,1,1\right)\right)\) et que \(G=Vect\left(\left(1,0,1\right),\left(0,1,1\right)\right)\). Ce sont donc deux sous-espace vectoriels de \(\mathbb{R}^3\). \(F\) et \(G\) sont en fait des plans vectoriels de \(\mathbb{R}^3\). Leurs équations ne sont pas proportionnelles, donc ils ne sont pas confondus. Leur intersection est une droite d’équation cartésienne \(\begin{cases}x-y+z=0\\ x+y-z=0\end{cases}\) et n’est donc par réduite à \(\left\{0\right\}\). \(F\) et \(G\) ne sont donc pas en somme directe dans \(\mathbb{R}^3\).


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