Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}^3\)

\[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad 2x+y+z=0\right\} \quad \textrm{ et} \quad G=\left\{(3t,2t,t~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\]


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[ID: 1159] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 951
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

On vérifie facilement que \(F\) et \(G\) sont des sous-espace vectoriels de \(E\). Pour déterminer \(F\cap G\) il suffit de résoudre le système \(\begin{cases} x-y+z=0\\2x+y+z=0\\ x=3t\\y=2t\\z=t\end{cases}\) ce qui amène \(F\cap G=\left\{\left(0,0,0\right)\right\}\). \(F\) et \(G\) sont donc en somme directe. \(F\) et \(G\) étant des droites vectorielles de l’espace, le plus petit sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) les contenant est un plan vectoriel. \(F\) et \(G\) ne sont donc par supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).


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