Vérifier si les espaces suivants sont supplémentaires dans \(E=\mathbb{R}^3\)

\[F= \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~2x-y+z=0\right\}\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{(t,-t,t)~|~ t\in \mathbb{R}\right\}\]


Barre utilisateur

[ID: 1157] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 198
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

On vérifie facilement que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\). Pour déterminer \(F\cap G\) il suffit de résoudre le système \(\begin{cases} 2x-y+z=0\\ x=t\\y=-t\\z=t\end{cases}\) ce qui amène \(F\cap G=\left\{\left(0,0,0\right)\right\}\). \(F\) et \(G\) sont donc en somme directe. Comme la droite vectorielle n’est pas incluse dans le plan vectoriel \(F\), le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) et \(G\) est \(E\) et donc \(F+G=E\). On a ainsi montré que \(F\oplus G=E\).


Documents à télécharger