Soient \(F=\left\{\left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2~|~s+t=0\right\}\) et \(G=\left\{\left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2~|~s-t=0\right\}\). Prouver que \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).


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[ID: 1155] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 384
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

On vérifie que \(F=Vect\left(1,-1\right)\) et que \(G=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(1,1\right)\) donc ce sont deux sous-espace vectoriels de \(\mathbb{R}^2\). Si \(\left(x,y\right)\in F\cap G\) alors ce couple vérifie le système \(\begin{cases} s+t&=0\\s-t&=0 \end{cases}\) dont l’unique solution est \(\left(0,0\right)\) donc \(F\cap G=\left\{0\right\}\). Pour \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\), cherchons \(\left(s,t\right)\in F\) et \(\left(s',t'\right)\in G\) en sorte que \(\left(x,y\right)=\left(s,t\right)+\left(s',t'\right)\). On doit avoir : \[\begin{cases}s+s'&=x\\t+t'&=y\\s+t&=0\\s'-t'&=0 \end{cases} .\] On résout ce système et on trouve \(\left(s,t\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(x-y,-x+y\right)\) et \(\left(s',t'\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(x+y,x+y\right)\). En conclusion, \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).


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