Soient \(F=\left\{\left(s,0\right)~|~s\in \mathbb{R}\right\}\) et \(G=\left\{\left(0,t\right)~|~t\in \mathbb{R}\right\}\). Prouver que \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).


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[ID: 1153] [Date de publication: 12 février 2021 11:00] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 277
Par emmanuel le 12 février 2021 11:00

Comme \(F=Vect\left(1,0\right)\) et que \(G=Vect\left(0,1\right)\), \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\). Si \(\left(x,y\right)\in F\cap G\) alors \(y=0\) car \(\left(x,y\right)\in F\) et \(x=0\) car \(\left(x,y\right)\in G\). Donc \(F\cap G=\left\{0\right\}\). Si \(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\), alors \(\left(x,y\right)=x\left(1,0\right)+y\left(0,1\right)\) et on a bien décomposé \(\left(x,y\right)\) en la somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\). Donc \(F+ G=\mathbb{R}^2\). En conclusion, \(F\oplus G=\mathbb{R}^2\).


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