Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que :

\[\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)=\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\]


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[ID: 1151] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 845
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  • \(\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(A\) et \(B\). Il contient donc \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).

  • Soit \(x\in \textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\). Il existe \(x_A\in \textrm{ Vect}\left(A\right)\) et \(x_B\in \textrm{ Vect}\left(B\right)\) tels que \(x=x_A+x_B\). Le vecteur \(x_A\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\), \(x_B\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(B\). Par conséquent \(x\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\) et de vecteurs de \(B\). Le vecteur \(x\) est donc bien élément de \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).


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