Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel \(E\).

  1. Si \(A \subset B\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).

  2. Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).

  3. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


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[ID: 1149] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 614
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  1. Comme \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\) et que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(B)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(B\) et donc \(A\), on a forcément \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).

  2. De même, comme \(F\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).

  3. On applique la question précédente avec \(F=\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). On obtient \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


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