Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(A=E\setminus F\).

  1. Montrer que \(\forall x \in F\), \(\forall y \in A\), \(x+y \in A\).

  2. En déduire que si \(F \neq E\), alors \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)=E\).


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[ID: 1147] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 366
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  1. Soit \(x\in F\) et \(y\in A\). Par l’absurde, si \(x+y\not\in A\), alors \(x+y\in F\) et il existe \(f\in F\) tel que \(x+y=f\) mais alors \(y=f-y\in F\) (car \(F\) est un sous-espace vectoriel), ce qui n’est pas possible.

  2. Supposons que \(F\neq E\). Par conséquent, il existe \(y\in A\). Montrons alors que \(E\subset \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Soit \(x\in E\). Si \(x\in A\), alors \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Supposons donc que \(x\not\in A\). Alors \(x\in F\) et d’après 1. , \(x+y\in A\). On écrit alors \[x= (x+y)-y\] Et donc \(x\) est combinaison linéaire des vecteurs \((x+y)\) et \(y\) qui appartiennent à \(A\). Par conséquent, \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


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