Soit \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle. On définit les systèmes de vecteurs \[S = (x\mapsto 1, x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos 2x) \quad T = (x\mapsto 1,x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos^2 x).\] Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(S) = \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\).


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[ID: 1143] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 978
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20

Comme pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos 2x= 2\cos^2 x-1\), il est clair que \(x\mapsto \cos 2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\). Il s’ensuit que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\). De même, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos^2 x =\left(1+\cos 2x\right)/2\) et donc \(x\mapsto \cos^2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(S)\). Donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\). En conclusion \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)= \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\).


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