On note \(E = \{ f \in \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} ) \mid \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \}\). Déterminer une partie \(A\) de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) telle que \(E = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


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[ID: 1141] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 671
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20

Grâce à la trigonométrie, on a les équivalences : \[\begin{aligned} & & f\in E \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) =a\cos \varphi\cos x +a\sin\varphi\sin x\\ &\Longleftrightarrow& \exists \alpha,\beta\in \mathbb{R}:\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f\left(x\right)=\alpha \cos x+ \beta \sin x \end{aligned}\] Donc \(\boxed{E=\mathop{\mathrm{Vect}}(\cos , \sin )}\).


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