Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. \(F_1=\left\{f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~f'-2t f=0\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+\omega^2 f=0\right\}\)\(\omega\in \mathbb{R}_+^*\)

  3. \(F_3=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+2 f'+f=0\right\}\)

  4. \(F_4=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''-4f=0\right\}\)


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[ID: 1135] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 634
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. Les fonctions solutions de \(y'-t y=0\) sont les fonctions \(\varphi_\alpha: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{t^2} \end{array} \right.\)\(\alpha\in\mathbb{R}\).Donc \(F_1=Vect\left(\varphi_1\right)\).

  2. Les fonctions solutions de \(f''+\omega^2 f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha \cos \left(\omega t\right) +\beta \sin \left(\omega t\right) \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_2=Vect\left(t\mapsto \cos \left(\omega t\right) ,t\mapsto \sin \left(\omega t\right)\right)\).

  3. Les fonctions solutions de \(f''+2 f'+f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{-t} +\beta te^{-t} \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_3=Vect\left(t\mapsto e^{-t} ,t\mapsto t e^{-t}\right)\).

  4. On montre de même que \(F_4=Vect\left(t\mapsto e^{2t},t\mapsto e^{-2t}\right)\).


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