Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. \(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]\)

  2. \(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}\)

  3. \(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}\)\(n\in \mathbb{N}\)

  4. \(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}\)

  5. \(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}\)

  6. \(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}\)

  7. \(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}\)

  8. \(F_8=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ \int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\}\)


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[ID: 1133] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 761
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]=Vect\left(X^2,X,1\right)\).

  2. \(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}=\left\{ \left(X-1\right)P ~|~P\in \mathbb{R}_2\left[X\right]\right\}=Vect{\left(\left(X-1\right)X^2,\left(X-1\right)X,\left(X-1\right)1\right)}\).

  3. \(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}=R_{n-1}\left[X\right]=Vect\left(1,X,\dots,X^{n-1}\right)\).

  4. \(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}=Vect\left(X^3-1,X^2-2,X+4\right)\).

  5. \(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}=\left\{ \left(X-1\right)\left(X-2\right)P~|~ P\in \mathbb{R}_{2}\left[X\right]\right\}\)
    \(\phantom{F_5}=Vect\left(X^2 \left(X-1\right)\left(X-2\right),X \left(X-1\right)\left(X-2\right), \left(X-1\right)\left(X-2\right)\right)\).

  6. \(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}=Vect\left(1\right)\).

  7. \(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}=\left\{aX+b|a,b\in \mathbb{R}\right\} = Vect\left(X,1\right)\).

  8. Soit \(P=aX^2+bX+c\in F_8\)\(a,b,c\in\mathbb{R}\). On a : \(\int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\) si et seulement si \(2a+3b+6c=0\) . Donc \(F_8=\left\{ aX^2+bX+c|~ a,b,c\in\mathbb{R}\quad \textrm{ et} \quad 2a+3b+6c=0\right\}=\left\{ aX^2+bX-{\scriptstyle a\over\scriptstyle 3}-{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2} |~ a,b\in\mathbb{R}\right\}=Vect{\left(X^2-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}, X-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \right)}\).


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