Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. \(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\}\)

  4. \(F_4= F \cap G\) avec \(F = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\) et \(G = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\)

  5. \(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}\)


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[ID: 1131] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 201
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}=\left\{\left(x,y,x+y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R}\right\} = \left\{x\left(1,0,1\right) + y\left(0,1,1\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R} \right\}=Vect{\left(\left(1,0,1\right),\left(0,1,1\right)\right)}\).

  2. \(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =\left\{s\left(2,1,1\right)+t\left(1,-1 ,1\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =Vect\left(\left(2,1,1\right),\left(1,-1 ,1\right)\right)\).

  3. \(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\} = \left\{\left(0,y,y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(0,1,1\right)\right)\).

  4. \(F_4=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\cap \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\) \(= \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0 \quad \textrm{ et} \quad 3x-y-z=0\right\}\)
    \(\phantom{F_4}=\left\{\left(x,5x,-2x\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,5,-2\right)\right)\).

  5. \(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(2,3,1\right)\right)\).


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