Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. \(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\)


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[ID: 1129] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 825
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1 = \left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\} = \left\{\left(x,x\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,1\right)\right)\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}=\left\{\left(x,2x\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\} = Vect\left(\left(1,2\right)\right)\)

  3. \(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,-2\right)\right)\)


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