Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et trois sous-espaces \(F\), \(G\) et \(H\) de \(E\). On suppose que \[\begin{cases} F + G = F + H \\ F \cap G = F \cap H \\ G \subset H \end{cases}\] A-t-on toujours \(G = H\) ?


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[ID: 1127] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 331
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

Montrons que \(G=H\). On sait déjà que \(G\subset H\). Il suffit donc de montrer l’inclusion réciproque. Soit \(h\in H\). Alors \(h\in F+H=F+G\). Donc il existe \(f\in F\) et \(g\in G\) tels que \(h=f+g\). Mais comme \(f=h-g\), que \(h-g\in H\) (car \(h\in H\), \(g\in G\subset H\) et \(H\) est un sous-espace vectoriel) alors \(f\in F\cap H=F\cap G\). Donc \(f\in G\) et \(h=f+g\in F\). Ce qui prouve que \(H\subset F\). En conclusion \(H=G\).


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