Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et quatre sous-espaces vectoriels \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de \(E\). Montrer que

  1. \(A\cap\left(B+C\right)=A\cap B + A\cap C\).

  2. \(A + \bigl(B \cap (A+C)\bigr) = (A+B) \cap (A+C)\) ;

  3. \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr) = (A\cap B) + (A\cap C)\).

  4. \(A\cap B = C\cap D \Rightarrow \bigl(A + (B\cap C)\bigr) \cap \bigl(A + (B\cap D)\bigr) = A\) ;


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[ID: 1125] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 30
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48
  1. Considérons \(z\in A\cap B + A\cap C\). Il existe \(x\in A\cap B\) et \(y\in A\cap C\) tels que \(z=x+y\). Mais comme \(x,y\in A\) et que \(A\) est un sous-espace vectoriel, \(z\in A\). Comme \(x\in B\) et \(y\in C\), \(z=x+y\in A+C\). En conclusion, \(z\in A\cap\left(B+C\right)\). Réciproquement, si \(z\in A\cap\left(B+C\right)\) alors \(z\in A\) et il existe \(x\in B\) et \(y\in C\) tels que \(z=x+y\).

  2. D’après la question précédente, \((A+B) \cap (A+C)=A\cap A + A\cap C + B\cap A+B\cap C=A+A\cap B+A\cap C+B\cap C=A+B\cap C\) car \(A\) est un sous-espace vectoriel et \(A\cap B,A\cap C\subset A\). De même, \(A + \bigl(B \cap (A+C)\bigr) = A+\left(A\cap B + B\cap C\right)=A+B\cap C\). On en déduit l’égalité.

  3. Toujours d’après la première question \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr)=A\cap B + A\cap A\cap C=A\cap B+A\cap C\) et \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr) = (A\cap B) + (A\cap C)\).

  4. Supposons que \(A\cap B = C\cap D\). Alors \[\bigl(A + (B\cap C)\bigr) \cap \bigl(A + (B\cap D)\bigr) = A\cap A+\underbrace{A\cap B}_{C\cap D}\cap D+\underbrace{A\cap B}_{C\cap D}\cap C+B\cap \underbrace{C\cap D}_{A\cap B}= A+C\cap D+A\cap B=A+A \cap B= A\] car \(A\) est un sous-espace vectoriel et que \(A\cap B\subset A\).


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